Оператор сдвига

Эта статья — об операторе сдвига в математике. Об операторах в языках программирования см. Битовая операция.

В математике, и, в частности, в функциональном анализе, оператор сдвига, также известный как оператор трансляции, — это оператор, который переводит функцию x ↦ f(x) в её трансляцию x ↦ f(x + a). В анализе временных рядов оператор сдвига называется лаговым оператором.

Операторы сдвига являются примерами линейных операторов, важных своей простотой и естественной распространённостью. Действие оператора сдвига на функции вещественного переменного играет важную роль в гармоническом анализе, например, он встречается в определениях почти периодических функций, положительно-определённых функций, производных и свёртки. Сдвиги последовательностей (функций целого переменного) появляются в различных областях, таких как пространства Харди, теория абелевых многообразий и теория символической динамики, для которых отображение пекаря является явным представлением.

Определение

Функции вещественной переменной

Оператор сдвига T^t (где t ∈ R) переводит функцию f на R в её трансляцию f_t ,

$T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.$

В операционном исчислении, практическое представление линейного оператора T^t в терминах простой производной d/dx было введено Лагранжем,

$T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,$

что может быть интерпретировано операционально через формальное разложение Тейлора по t; по биному Ньютона очевидно действие оператора на одночлен xⁿ, и, следовательно, на все ряды по x, а значит, и на все функции f(x), как указано выше. Таким образом, формально это кодировка разложения Тейлора в исчислении Хевисайда.

Таким образом, оператор является прототипом адвективного потока Ли для абелевых групп,

$e^{t\beta (x){\frac {d}{dx}}}f(x)=e^{t{\frac {d}{dh}}}F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),$

где канонические координаты h (функции Абеля) определены так, что

$h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).$

Например, из этого легко следует, что $\beta (x)=x$ даёт масштабирование,

$e^{tx{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(e^{t}x),$

следовательно $e^{i\pi x{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(-x)$ (чётность); аналогично, $\beta (x)=x^{2}$ даёт

$e^{tx^{2}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),$

$\beta (x)=1/x$ даёт

$e^{{\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),$

$\beta (x)=e^{x}$ даёт

$\exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),$

и т.д.

Начальное условие потока и свойство группы полностью определяют весь поток Ли, предоставляя решение функционального уравнения трансляции

$f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).$

Последовательности

Оператор левого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

$S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )$

и на двухсторонние бесконечные последовательности чисел:

$T:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty }^{\infty }.$

Оператор правого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

$S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )$

и на двусторонние бесконечные последовательности:

$T^{-1}:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty }^{\infty }.$

Операторы сдвига вправо и влево, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.

Абелевы группы

В целом, как было показано выше, если F есть функция абелевой группы G, а h есть элемент из G, то оператор сдвига T ^g отображает F в

$F_{g}(h)=F(h+g).$

Свойства оператора сдвига

Оператор сдвига, действующий на вещественные или комплекснозначные функции или последовательности, является линейным оператором, сохраняющим большинство стандартных норм, которые встречаются в функциональном анализе. Поэтому он обычно является непрерывным оператором с 1-нормой.

Действие на гильбертовых пространствах

Оператор сдвига, действующий на двусторонние последовательности, является унитарным оператором на ℓ₂(Z). Оператор сдвига, действующий на функции вещественного переменного, является унитарным оператором на L₂(R).

В обоих случаях (левый) оператор сдвига удовлетворяет следующему коммутативному соотношению с преобразованием Фурье:

$${\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},$$

где M^t — оператор умножения на exp(itx). Поэтому спектр T^t — единичный круг.

Односторонний сдвиг S, действующий на ℓ₂(N), является собственной изометрией с областью значений функции, равной всем векторам, которые исчезают в первой координате. Оператор S является сжатием T^-1, в том смысле, что

$$T^{-1}y=Sx{\text{, }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),$$

где y — вектор в ℓ₂(Z) с y_i = x_i для i ≥ 0 и y_i = 0 для i < 0. Это наблюдение лежит в основе построения многих унитарных расширений изометрий.

Спектр S — это единичный диск. Сдвиг S является одним из примеров оператора Фредгольма; он имеет индекс Фредгольма -1.

Обобщение

Жан Дельсарт ввёл понятие обобщённого оператора сдвига (также называемого обобщённым оператором смещения); в дальнейшем оно было развито Борисом Левитаном.

Семейство операторов {L^x}_{x ∈ X}, действующих на пространстве Φ функций из множества X в C, называется семейством обобщённых операторов сдвига, если выполняются следующие свойства:

1. Ассоциативность: пусть (R^yf)(x) = (L^xf)(y). Тогда L^xR^y = R^yL^x.
2. Существует e в X такое, что L^e — оператор тождества.

В этом случае множество X называется гипергруппой.

См. также

• Арифметический (знаковый) сдвиг
• Логический (беззнаковый) сдвиг
• Конечные разности
• Оператор импульса

Литература

• Partington, Jonathan R. Linear Operators and Linear Systems. — Cambridge University Press, March 15, 2004. — ISBN 978-0-521-83734-7. — doi:10.1017/cbo9780511616693.
• Marvin Rosenblum and James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, (1985) Oxford University Press.